离散时间鞅
离散时间鞅是对于所有 n 都满足
E
(
|
X
n
|
)
<
∞
{\displaystyle \mathbf {E} (\vert X_{n}\vert )<\infty }
E
(
X
n
+
1
∣
X
1
,
…
,
X
n
)
=
X
n
,
n
∈
N
,
{\displaystyle \mathbf {E} (X_{n+1}\mid X_{1},\ldots ,X_{n})=X_{n},\quad n\in \mathbb {N} ,}
的时间离散的随机过程 X1，X2，X3,…，也就是说，已知之前所有观测值，若下一次观测值的条件期望等于本次观测值，则称这一随机过程（即随机变量序列）是离散时间鞅。
关于随机过程的离散时间鞅
相对来说更为一般的定义如下：若对于所有 n 都满足
E
(
|
Y
n
|
)
<
∞
{\displaystyle \mathbf {E} (\vert Y_{n}\vert )<\infty }
E
(
Y
n
+
1
∣
X
1
,
…
,
X
n
)
=
Y
n
,
n
∈
N
,
{\displaystyle \mathbf {E} (Y_{n+1}\mid X_{1},\ldots ,X_{n})=Y_{n},\quad n\in \mathbb {N} ,}
则称随机过程 Y1，Y2，Y3，…是关于另一随机过程 X1，X2，X3，…的鞅。
连续时间鞅
与离散时间鞅的定义相似，连续时间鞅的定义为：若对于所有 t 都满足
E
(
|
Y
t
|
)
<
∞
{\displaystyle \mathbf {E} (\vert Y_{t}\vert )<\infty }
E
(
Y
t
∣
{
X
τ
,
τ
≤
s
}
)
=
Y
s
,
∀
s
≤
t
,
{\displaystyle \mathbf {E} (Y_{t}\mid \{X_{\tau },\tau \leq s\})=Y_{s},\ \forall \ s\leq t,}
则称关于随机过程 Xt 的连续时间鞅是随机过程 Yt 。
上述定义表达了鞅的性质，即在 s ≤ t 的条件下，已知时刻 s 以及之前所有时刻的观测值，若时刻 t 的观测值的条件期望等于时刻 s 的观测值，则随机过程是鞅。
广义的定义
更为一般性的定义如下：若随机过程
Y
:
T
×
Ω
→
S
{\displaystyle Y:T\times \Omega \to S}
满足如下性质，则称 Y 是一个关于滤链 Σ∗和概率测度 P 的鞅。
Σ∗ 是给定概率空间 (Ω, Σ, P) 的滤链（英语：filtration）；
Y 是适应于滤链 Σ∗ 的适应过程，即对于指标集 T 中的每一 t ，随机变量 Yt 是一个 Σt 可测函数；
对于任意 t ，Yt 存在于 Lp 空间 L1(Ω, Σt, P; S) 中，即
E
P
(
|
Y
t
|
)
<
+
∞
;
{\displaystyle \mathbf {E} _{\mathbf {P} }(|Y_{t}|)<+\infty ;}
对于所有 s 和 t （s < t ）和所有 F ∈ Σs，
E
P
(
[
Y
t
−
Y
s
]
χ
F
)
=
0
,
{\displaystyle \mathbf {E} _{\mathbf {P} }\left([Y_{t}-Y_{s}]\chi _{F}\right)=0,}
其中 χF 表示事件 F 的指示函数。在 Grimmett 和 Stirzaker 的《Probability and Random Processes》一书中，最后一个条件被表示为条件期望的一般形式[2]：
Y
s
=
E
P
(
Y
t
|
Σ
s
)
,
{\displaystyle Y_{s}=\mathbf {E} _{\mathbf {P} }(Y_{t}|\Sigma _{s}),}
要注意的重点是鞅成立的性质与滤链以及关于选定期望的概率测度都有关。Y 可能是某一测度的鞅，但不是另一测度的鞅；而要说明某一伊藤过程是鞅，则可以利用吉尔萨诺夫定理（英语：Girsanov theorem）找出相关的测度。