行列式的计算方法根据矩阵的大小和具体情况可以采用不同的方法。以下是常用的计算行列式的方法：
一、2×2矩阵的行列式
对于一个2×2的矩阵：
A
=
(
a
b
c
d
)
A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}
A=(acbd)
行列式的计算公式为：
det
(
A
)
=
a
d
−
b
c
\det(A) = ad - bc
det(A)=ad−bc
二、3×3矩阵的行列式
对于一个3×3的矩阵：
A
=
(
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
)
A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}
A=
a11a21a31a12a22a32a13a23a33
方法1：Sarrus法则（仅适用于3×3矩阵）
拓展矩阵：将矩阵的第一列和第二列复制到矩阵的右侧：
(
a
11
a
12
a
13
a
11
a
12
a
21
a
22
a
23
a
21
a
22
a
31
a
32
a
33
a
31
a
32
)
\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \color{blue}{a_{11}} & \color{blue}{a_{12}} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \color{blue}{a_{21}} & \color{blue}{a_{22}} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & \color{blue}{a_{31}} & \color{blue}{a_{32}} \end{pmatrix}
a11a21a31a12a22a32a13a23a33a11a21a31a12a22a32
计算正对角线的乘积和：
P
=
a
11
a
22
a
33
+
a
12
a
23
a
31
+
a
13
a
21
a
32
P = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32}
P=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32
计算反对角线的乘积和：
N
=
a
13
a
22
a
31
+
a
11
a
23
a
32
+
a
12
a
21
a
33
N = a_{13}a_{22}a_{31} + a_{11}a_{23}a_{32} + a_{12}a_{21}a_{33}
N=a13a22a31+a11a23a32+a12a21a33
行列式的值为：
det
(
A
)
=
P
−
N
\det(A) = P - N
det(A)=P−N
方法2：按行（列）展开法
选择一行或一列，利用代数余子式进行展开。例如，对第一行展开：
det
(
A
)
=
a
11
C
11
+
a
12
C
12
+
a
13
C
13
\det(A) = a_{11}C_{11} + a_{12}C_{12} + a_{13}C_{13}
det(A)=a11C11+a12C12+a13C13
其中，
C
i
j
C_{ij}
Cij 是对应的代数余子式：
C
i
j
=
(
−
1
)
i
+
j
M
i
j
C_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}
Cij=(−1)i+jMij
M
i
j
M_{ij}
Mij 是
a
i
j
a_{ij}
aij 的余子式，即删除第
i
i
i 行和第
j
j
j 列后剩下的行列式。
三、高阶矩阵的行列式
对于
n
×
n
n \times n
n×n 的矩阵，可以使用按行（列）展开法或行列变换法。
1. 按行（列）展开法（Laplace展开）
步骤：
选择一行或一列（通常选择包含较多零元素的行或列，以简化计算）。对该行或列的每个元素，计算其代数余子式。将元素与其对应的代数余子式相乘，再求和。 公式（以第
i
i
i 行展开为例）：
det
(
A
)
=
∑
j
=
1
n
a
i
j
C
i
j
\det(A) = \sum_{j=1}^{n} a_{ij}C_{ij}
det(A)=j=1∑naijCij
2. 行列变换法
通过对矩阵进行初等行（列）变换，将矩阵化为上三角矩阵或对角矩阵，然后利用以下性质计算行列式：
性质1：如果将两行（列）交换，行列式取相反数。
性质2：如果某一行（列）乘以常数
k
k
k，行列式也乘以
k
k
k。
性质3：如果在一行（列）中加上另一行（列）的倍数，行列式不变。
性质4：上三角矩阵或下三角矩阵的行列式等于对角线上元素的乘积。
步骤：
利用初等行变换，将矩阵化为上三角矩阵。记录变换过程中对行列式值的影响。最终行列式等于对角线元素的乘积，结合变换的影响，得到原矩阵的行列式。
示例：
对于矩阵：
A
=
(
2
3
1
4
1
−
3
−
1
2
5
)
A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 4 & 1 & -3 \\ -1 & 2 & 5 \end{pmatrix}
A=
24−13121−35
通过初等行变换，将其化为上三角矩阵，然后计算行列式。
四、使用矩阵分解法
对于大型矩阵，手工计算行列式非常繁琐，可以借助LU分解等方法，将矩阵分解为易于计算行列式的形式。
LU分解：将矩阵
A
A
A 分解为下三角矩阵
L
L
L 和上三角矩阵
U
U
U 的乘积
A
=
L
U
A = LU
A=LU。
行列式的计算：
det
(
A
)
=
det
(
L
)
×
det
(
U
)
\det(A) = \det(L) \times \det(U)
det(A)=det(L)×det(U)
由于
L
L
L 和
U
U
U 是三角矩阵，其行列式为对角线元素的乘积。
五、行列式的性质简化计算
利用行列式的性质，可以在计算过程中简化步骤：
性质5：如果矩阵有一行或一列全为零，行列式为零。性质6：如果矩阵的两行（列）相同，行列式为零。性质7：如果矩阵的某一行（列）是另一行（列）的倍数，行列式为零。
总结
计算行列式的方法多种多样，选择合适的方法可以大大简化计算过程。在手工计算时，通常优先选择含有多个零元素的行或列进行展开，或者利用行列变换将矩阵化为易于计算的形式。